«Бежим навстречу счастью!» — очень романтичное выражение, согласитесь?
А вот: «Я бегу на встречу» — уже более рабочее. Как часто случается в русском языке, слова слышатся одинаково, а пишутся по-разному — и это в корне меняет значение. В конечном счёте всё определяет контекст.

НА ВСТРЕЧУ 

Раздельное написание грамотно применять в случае, когда «на встречу» является  существительным в винительном падеже с предлогом. Помните, в школьные времена давали совет по проверке: если можно вставить прилагательное, местоимение (или даже числительное) между предлогом и существительным, то писать следует раздельно. Кроме того, написав «на встречу», мы предполагаем, что за этим будет следовать конструкция «существительного в творительном падеже с предлогом «с». Рассмотрим на примере: «Я бегу на встречу». Задаём вопрос: «На какую встречу?» Ответ может быть любым — срочную, важную, деловую, — это не принципиально. Второй параметр проверки — подставляем существительное с предлогом «с»: на важную встречу с директором, на срочную встречу с товарищем. 

НАВСТРЕЧУ 

Что касается слитного написания. В данном случае «на-» является приставкой, а не предлогом. По сути, «навстречу» — это наречие. Отвечает на обстоятельственный вопрос «Как?», характерный для данной части речи, и поясняет глагол. Истинное наречие по всем законам! Пример: «Мать шла к дому, а я шёл ей навстречу». 

Но не всё так просто. В сочетании «Он мчался навстречу мне» исследуемое слово является производным отыменным предлогом. Исторически считается, что такие слова появились благодаря переходу их из одной группы — существительных в сочетании с непроизводными (простыми) предлогами, то есть «на» (предлог) + «встречу» (сущ.) — в особую, обособленную группу. Название «производные отыменные предлоги» также пошло от способа образования: произведены путем слияния предлога и существительного. «Навстречу» является служебной частью речи, употребляющейся для связи слов, синтаксической роли не играет, требует употребления существительного или местоимения в определенном падеже. В нашем случае — управляемое слово всегда будет стоять в дательном падеже. 

*Кстати, аналогичные отыменные предлоги «вследствие», «в продолжение», «наподобие» также пишутся слитно. 

Когда мы говорим о слитном написании, то можем отталкиваться от обозначенной выше схемы, касающейся раздельного написания, — только идём от обратного. Если в варианте «предлог + существительное» мы можем вставить слово, то в данном случае слово «не впишется». Да и конструкция «существительное + с» здесь неуместна («Она бежала навстречу мне»). 

Вывод. Чтобы определить, слитно или раздельно нужно писать «навстречу», используйте два основных критерия. 

1. Можно или нельзя разбить слово, вставить слово между «на» и «встречу», уточнив смысл. Можно — значит, это предлог с существительным (пишем раздельно); нет — следовательно, перед нами наречие или отыменной предлог (грамотным будет слитное написание). Если «навстречу» даёт пояснение к глаголу, отвечает на вопросы «Как?», «Каким образом?», то перед нами наречие. Если служит для связи слов в предложении, управляет именем существительным в дательном падеже (или местоимением), то налицо все признаки сложного производного предлога. Определить, наречие это или предлог, бывает сложно, главное — не путать с вариантом «предлог + существительное». 

2. Можно ли дополнить конструкцию «существительное + с». Да — пишем раздельно, «на» = предлог. Нет — пишем слитно, «на-» = приставка.

Пример пары предложений. Я шел по лесу, и вдруг навстречу мне из кустарника выскочил заяц. Но завидев меня заяц умчался в другую сторону, видимо, он торопился на встречу с другим зайцем.